Задание 18

На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

                                                            (x ϵ P) → (((x ϵ Q) ˄ ¬(x ϵ A)) → ¬(x ϵ P)) 

истинна при любом значении переменной х, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х. 

Решение

Сначала упрощаем выражение   (x ϵ P) → (((x ϵ Q) ˄ ¬(x ϵ A)) → ¬(x ϵ P))   

Можно выражение переписать следующим образом:    

 P → (( Q ˄ ¬A) → ¬ P)  =  P → (¬ ( Q ˄ ¬A) ˅ ¬ P)  = P → (¬  Q  ˅ A ˅ ¬ P)  = ¬ P  ˅ ¬  Q  ˅ A ˅ ¬ P  =  ¬ P  ˅ ¬  Q  ˅ A = (¬ P  ˅ ¬  Q ) ˅ A 

 Выражение  (¬ P  ˅ ¬  Q ) ˅ A  должно быть  истинным. т.е. равно 1 при любом значении х. То есть, х должен или не принадлежать P, или не принадлежать Q, или принадлежать А.

Построим числовую прямую и нанесем на ее числа 37, 40, 60 и 77, а также отрезки P и Q. Обозначим части, которые соответствуют выражению  ¬ P  ˅ ¬  Q. Часть, находящаяся между ними, для выражения   ¬ P  ˅ ¬  Q будет ложной. Соответственно, это будет отрезок А (от 40 до 60).   

Остается посчитать длину. 60 - 40 = 20.   ОТВЕТ: 20